Successione di sei portali metallici che fanno riferimento ai concetti della proporzione aurea.

Il Viale della Prospettiva Aurea, anch’esso legato ai concetti di proporzione e rettangolo aurei (Come avviene per il Compasso Aureo e per la Fonte Aurea), è composta da una successione di 6 portali a forma di rettangolo aureo, posti a distanza costante e liberamente attraversabili. 

Il viale fa immediatamente notare che, se dal rettangolo aureo rimuoviamo un quadrato di lato pari al lato minore del rettangolo, il risultato sarà un altro rettangolo aureo (con le stesse proporzioni di quello di partenza), e così via all’infinito.

E’ possibile dimostrare questa particolarità molto facilmente. Ricordiamo che i lati del rettangolo sono in proporzione aurea tra loro se le seguenti uguaglianze risultano verificate con φ = 1,618.

Partendo da un rettangolo con lato maggiore uguale a 1,618 e lato minore uguale a 1, sottraiamo progressivamente dei quadrati aventi lato di lunghezza pari al lato minore del rettangolo da cui vengono via via estratti. Ci basterà costruire una tabella come la seguente, tenendo conto che, dopo la prima riga:

il lato maggiore del nuovo rettangolo coincide col lato minore del rettangolo precedente;

il lato minore del nuovo rettangolo equivale alla differenza tra il lato maggiore e quello minore del rettangolo precedente.

  

lato maggiore (a)	lato minore (b)	(a + b) / a	a / b
1,618…	1	1,618…	1,618…
1	0,618…	1,618…	1,618…
0,618…	0,381…	1,618…	1,618…
0,381…	0,236…	1,618…	1,618…
0,236…	0,145…	1,618…	1,618…
0,145…	0,090…	1,618…	1,618…
0,090…	0,055…	1,618…	1,618…
0,055…	0,034…	1,618…	1,618…
0,034…	0,021…	1,618…	1,618…
0,021…	0,013…	1,618…	1,618…

 

Alcuni sostengono che molte strutture architettoniche siano state costruite rispettando i canoni della proporzione aurea la quale conferirebbe, oltre al suo preciso rapporto nelle proporzioni, armonia e simmetria: a costituirne l'esempio più rappresentativo ci sarebbe il Partenone, la cui facciata pare sia inscrivibile in un rettangolo aureo. Il rapporto aureo è stato indicato con la lettera greca φ proprio perché si tramanda che lo scultore Fidia (in greco Pheidias) avrebbe rispettato consapevolmente tale proporzione mentre ornava il fregio del tempio.Applicando e iterando fedelmente questo criterio di riduzione a partire dal primo rettangolo aureo e poi di seguito a tutti gli altri così ottenuti, noteremo come i rapporti [(a + b) / a] e (a / b) continueranno a mantenersi uguali tra loro e uguali a φ (ricordiamo che φ è un numero irrazionale, dunque le inevitabili discrepanze sono dovute ai necessari arrotondamenti). A questo punto ci è possibile concludere che ogni rettangolo estratto rispettando questa procedura è necessariamente aureo.

Tuttavia, la prima traccia storica del rapporto aureo si ritrova nell’opera “Elementi” di Euclide, risalente al 300 a.C. circa, mentre l’edificazione del Partenone fu sostanzialmente completata nel 438 a.C. E’ probabile che i greci fossero abituati all’uso della proporzione aurea fin da tempi remoti, e tuttavia è da notare come che Euclide si limiti a dimostrare come suddividere un segmento “secondo la proporzione media ed estrema”, senza esprimere considerazioni in merito alla superiorità estetica della proporzione aurea, concetto considerato probabilmente fuori posto nel contesto di un’opera dedicata alla geometria.

L’apprezzamento estetico per la proporzione aurea è un’innovazione moderna: dobbiamo a Luca Pacioli (1445 - 1517) l’aggettivo “aureo” o “divino”. Pacioli riteneva che il rapporto aureo, in quanto numero irrazionale (non esprimibile compiutamente mediante una frazione) fosse un’immagine del divino il quale non potrà mai essere completamente conosciuto dalla mente umana. Ancora, dobbiamo a Pacioli l’idea che il rettangolo aureo sia il più armonioso dei rettangoli e che il suo uso permetta di conferire una bellezza intrinseca alle opere d’arte.

Vedremo però che il rapporto aureo (e il rettangolo aureo costruito in base ad esso) presentano interessanti connessioni con altri argomenti matematici (che incontreremo in altre installazioni poste più avanti lungo il nostro percorso) come la Spirale Aurea (un tipo di spirale logaritmica) o il Rettangolo di Fibonacci.

Qual’era lo scopo di un exhibit come il Viale della Prospettiva Aurea? Come avviene per altre installazioni è proprio quello di rappresentare visivamente (ed esteticamente) il principio legato al noto “rettangolo aureo”. Si tratta, come sappiamo, di un rettangolo particolare nel quale il lato maggiore e quello minore sono fra loro in proporzione aurea. 

Ponendo il lato minore uguale a 1, quello maggiore risulterà lungo 1,61803…

La grandezza con valore ≈ 1,618, rappresenta il rapporto aureo e viene indicato con φ (phi), dall’iniziale di Fidia (in greco Pheidias), lo scultore che si dice ne abbia fatto notevole uso nella costruzione del Partenone:

Ma come si costruisce un rettangolo che rispetti i canoni della proporzione aurea? Sono sufficienti riga, compasso e una procedura messa a punto da Euclide nella proposizione 11 del secondo libro degli “Elementi” di seguito descritta: 

• disegniamo un quadrato ABCD, il cui lato (l) abbia una lunghezza a piacere (per semplicità scegliamo l = 1).
• Individuiamo M, punto medio di AB.
• Costruiamo una circonferenza di centro M e raggio MC.
• Prolunghiamo AB dalla parte di B, fino a farlo intersecare con la circonferenza nel punto S.
• Abbiamo così ottenuto AS, il lato maggiore del rettangolo.

Spesso siamo totalmente ignari del fatto che numerosissimi oggetti che usiamo quotidianamente hanno la forma del rettangolo aureo: le SIM dei cellulari, le carte di pagamento (bancomat e carte di credito) e i tesserini plastificati (badge) utilizzati nei luoghi di lavoro sono tutti rettangoli aurei con un rapporto tra base ed altezza pari a 1,618. Non sono semplici coincidenze: si ritiene che il rettangolo aureo sia intrinsecamente armonioso (ma su questo non vi è univocità di vedute). 

Citiamo solo qualche riferimento alla presenza della Proporzione Aurea nell’arte: pensiamo alla rappresentazione leonardesca dell’ Umovo di Vitruvio. Il corpo umano è inscritto in un quadrato e in un cerchio.

I lati AB e CD, interessati dal passaggio della retta x-y (che incontra l'ombelico)sono suddivisi in due segmenti che stanno tra loro in rapporto aureo perfetto. 

Nella rappresentazione della famosa Venere di Botticelli sono numerosi i rapporti aurei individuabili. Oltre a quello tra l’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza complessiva, è aureo anche il rapporto tra  la distanza del collo del femore al ginocchio e la lunghezza dell’intera gamba o il rapporto tra il gomito e la punta del dito medio e la lunghezza dell'intero braccio.