Struttura in acciaio che mostra l'applicazione del teorema di Pitagora.

Come la Fontana del Teorema, l’exhibit  “Albero del Teorema” mostra un’ applicazione del teorema di Pitagora, iterata più volte su stessa, fino a generare un’affascinante figura a forma di albero. La stessa è una creazione recente e la si deve al matematico olandese Albert Bosman che la costruì nel 1942. Bosman battezzò l’immagine come Albero “pitagorico” perché la figura si costruisce a partire da quadrati, ogni tripletta dei quali racchiude un triangolo rettangolo isoscele, in una configurazione tradizionalmente usata per rappresentare il teorema di Pitagora.

La struttura, che riproduce l’iterazione del teorema di Pitagora, è posta sulla sommità di una collina, che domina l’intero parco ed il centro cittadino, ed è dunque facilmente visibile da lontano. E’ formata da elementi in acciaio fissati su un parallelepipedo in cemento, e la sua forma caratteristica l’ha resa il simbolo di Parco Pignera.

La rappresentazione è anche detta albero dei “frattali”, termine con cui si identifica un oggetto geometrico che, ripetendosi nella sua struttura nello stesso modo su scala diversa, è dotato della caratteristica chiamata auto-similarità. 

Divertiamoci a costruire l’Albero: la costruzione inizia con il tracciamento di un quadrato, il cui lato (l) sia per semplicità uguale a 1 m. L’area del quadrato così costruito sarà allora l² = 1 m². 

Poiché il teorema di Pitagora stabilisce che l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa equivale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti, possiamo considerare un lato del quadrato che abbiamo appena tracciato come l’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele, per poi costruire due quadrati sui cateti del triangolo rettangolo così identificato.

Sempre per il teorema di Pitagora, sappiamo che la somma delle aree di questi due quadrati più piccoli è uguale all’area del quadrato di partenza. Siamo allora in grado di calcolare le aree dei due quadrati più piccoli; esse risulteranno pari a metà dell’area del quadrato più grande:

c² = a² + b² 

1 m² = 0,5 m² + 0,5 m2²

Ripetendo la stessa procedura per gli altri 2 quadrati più piccoli, e così via all’infinito daremo vita all’albero del teorema. Ovviamente l’installazione mostra solo le prime iterazioni.

Ogni quadrato genera altri due quadrati, ciascuno di area pari alla metà del quadrato di partenza. Possiamo allora calcolare il numero complessivo dei quadrati che verrano generati: se la prima iterazione genera 2 quadrati, di area pari a 1/2 del quadrato di partenza che verrano generati: se la prima iterazione genera 2 quadrati, di area pari a 1/2 del quqadrato di partenza, allora l'iterazione ennesima genera 2 quadrati che avranno tutti area pari a 1/2 del quadrato di partenza. Se poi sommiamo le aree di tutti i quadrati generati, il totale equivarrà all'area del quadrato di partenza (nel nostro esempio)

iterazione	numero quadrati	area singolo quadrato	area dell’albero (numero quadrati * area singolo quadrato)
	1	1	1 * 1 = 1
1	21 = 2	1/21 = 1/2	2 * 1/2 = 2/2 = 1
2	22 = 4	1/22 = 1/4	4 * 1/4 = 4/4 = 1
3	23 = 8	1/23 = 1/8	8 * 1/8 = 8/8 = 1
4	24 = 16	1/24 = 1/16	16 * 1/16 = 16/16 = 1
5	25 = 32	1/25 = 1/32	32 * 1/32 = 32/32 = 1
6	26 = 64	1/26 = 1/64	64 * 1/64 = 64/64 = 1
7	27 = 128	1/27 = 1/128	128 * 1/128 = 128/128 = 1
8	28 = 256	1/28 = 1/256	256 * 1/256 = 256/256 = 1
...	...	...	...
n	2n	1/2n	2n * 1/2n = 2n / 2n = 1

 

Se ora cercassimo di calcolare la lunghezza dei cateti, incontreremmo un problema non di poco conto. Infatti, essendo i cateti proprio i lati dei quadrati più piccoli, se estraiamo la radice quadrata delle loro aree otteniamo:

La radice quadrata di 0,5 è un numero irrazionale (non rappresentabile mediante una frazione di numeri interi) che equivale a 0,7071067811… Quindi, pur avendo calcolato le aree dei due quadrati più piccoli a partire da quella del quadrato più grande, non siamo in grado di determinare con esattezza la lunghezza dei cateti del triangolo rettangolo isoscele. Perché? Il motivo risiede nell’incommensurabilità tra il lato del quadrato e la sua diagonale (il concetto di incommensurabilità è altresì presente nel trafiletto informativo relativo al Viale di Fibonacci). 

La scoperta delle grandezze incommensurabili comportava che i rapporti tra numeri non riuscivano a spiegare neanche i concetti geometrici di base, come ad esempio, il rapporto tra la diagonale di un quadrato e il lato. 

Consapevoli che la loro scuola avrebbe perso credibilità se la scoperta si fosse diffusa, i pitagorici decisero di tenerla nascosta il più a lungo possibile, finché Ippaso di Metaponto non la rese di dominio pubblico. Il discepolo venne allora espulso dalla scuola e venne eretto un monumento funebre a lui dedicato mentre questi era ancora in vita, allo scopo di maledirne la memoria: per quanto si sa, l’azione ebbe il suo effetto, perché Ippaso morì poco dopo in un naufragio. Abbastanza ironicamente, alcune fonti affermano che Pitagora, inseguito dai suoi nemici, trovò la morte proprio nella città da cui proveniva Ippaso, e che ai tempi di Cicerone la tomba di Pitagora si trovasse ancora a Metaponto.